いろいろ（応用）計算・応用編

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試合数・箱への入れ方・部屋分け・倍数のカードなど、入試でよく出る応用問題。「何を選ぶか」を見ぬいて計算します。

Part 1. 例題（解き方）

例 1いろいろ（応用）試合数（リーグ・トーナメント）

10チームが参加するバスケットボールの大会があります。
（1）各チームが他のチームと1試合ずつ行うリーグ戦のとき、全部で何試合行われますか。
（2）トーナメント戦のとき、優勝が決まるまでに全部で何試合行われますか。

（1）リーグ戦は「2チームの組み合わせ」の数だけ試合がある。10×92×1＝45試合。
（2）トーナメントは1試合ごとに1チーム負ける。優勝以外の9チームが負ける＝9試合。（チーム数−1）

こたえ (1) 45試合　(2) 9試合

例 2いろいろ（応用）箱への入れ方（●と仕切り）

100円硬貨が6枚あります。これを㋐、㋑、㋒の3つのボックスに入れます。
（1）どのボックスにも1枚以上入る入れ方は全部で何通りか、求めなさい。
（2）空のボックスがあってもよいとき、全部で何通りか、求めなさい。

硬貨6枚を●として1列に並べ、2本の仕切りで3つの空間に分ける。左の空間の●は㋐に、真ん中の●は㋑に、右の●は㋒に入れると決める。

　←㋐1枚・㋑2枚・㋒3枚の入れ方

（1）どのボックスにも1枚以上 → 仕切りは●と●の間のすき間（↑の5か所)に1本ずつ置く。

5か所のすき間から仕切りを置く2か所を選んで、5×42×1＝10通り。
（2）空のボックスがあってもよい → 仕切りを2本続けて置いたり、はしに置いたりしてもよい。

　←㋑が空

　←㋐と㋑が空

●6個と仕切り2本を合わせた8個のならぶ場所のうち、どの2か所が仕切りになるかを選んで、8×72×1＝28通り。

こたえ (1) 10通り　(2) 28通り

例 3いろいろ（応用）部屋分け

A〜Gの7人が、定員5人のルーム①と定員3人のルーム②に分かれます。
（1）7人の分け方は全部で何通りか、求めなさい。
（2）ルーム①に4人、ルーム②に3人が入るとき、A君とB君が同じ部屋になる分け方は全部で何通りか、求めなさい。

（1）定員から、ルーム②は2人か3人。②が2人＝7×62×1＝21、②が3人＝7×6×53×2×1＝35。21＋35＝56通り。
（2）A・Bが①…のこり5人から①の2人＝5×42×1＝10。A・Bが②…のこり5人から②の1人＝5。10＋5＝15通り。

こたえ (1) 56通り　(2) 15通り

例 4いろいろ（応用）和の偶数・奇数（グループに分ける）

1から10までの数字が書かれたカードが1枚ずつ、全部で10枚あります。この中から2枚を選ぶとき、2枚の数字の和が偶数になる選び方は全部で何通りか、求めなさい。

和が偶数になるのは「偶数＋偶数」か「奇数＋奇数」のときだけ（偶数＋奇数は必ず奇数）。
カードを偶数（2,4,6,8,10）の5枚と、奇数（1,3,5,7,9）の5枚のグループに分けて考える。
偶数から2枚＝5×42×1＝10通り。奇数から2枚＝同じく10通り。
10＋10＝20通り。

こたえ 20通り

Part 2. 練習問題

問112チームが参加する野球大会があります。
（1）各チームが他のチームと1試合ずつ行うリーグ戦のとき、全部で何試合行われますか。
（2）トーナメント戦のとき、優勝が決まるまでに全部で何試合行われますか。

式・計算をかこう

問2A〜Fの6人が、定員4人のルーム①と定員3人のルーム②に分かれます。
（1）6人の分け方は全部で何通りか、求めなさい。
（2）ルーム①に4人、ルーム②に2人が入るとき、A君とB君が同じ部屋になる分け方は全部で何通りか、求めなさい。

式・計算をかこう

問31台に5人乗れる車がAとBの2台あります。この2台に7人が分かれて乗ります。乗り方は全部で何通りか、求めなさい。

式・計算をかこう

問4えんぴつが8本あります。これを兄と弟の2人で分けます。
（1）2人とも1本以上もらうとき、分け方は全部で何通りか、求めなさい。
（2）もらわない人がいてもよいとき、全部で何通りか、求めなさい。

式・計算をかこう

問5みかんが7個あります。これを㋐、㋑、㋒の3つの皿に分けて入れます。
（1）どの皿にも1個以上入る入れ方は全部で何通りか、求めなさい。
（2）空の皿があってもよいとき、全部で何通りか、求めなさい。

式・計算をかこう

問61から20までの数字が書かれたカードが1枚ずつ、全部で20枚あります。この中から3枚を選びます。
（1）3枚とも3の倍数になる選び方は何通りか、求めなさい。
（2）3枚の数字の和が偶数になる選び方は何通りか、求めなさい。

式・計算をかこう

問76枚のカード｛0，1，2，3，4，5｝から3枚を使って3けたの整数をつくります。
（1）整数は全部で何通りできるか、求めなさい。
（2）偶数は何通りか。
（3）3の倍数は何通りか。
（4）5の倍数は何通りか、求めなさい。

式・計算をかこう

問8ボールが10個あります。これをA、B、Cの3人で分けます。どの人も2個以上もらうとき、分け方は全部で何通りか、求めなさい。

式・計算をかこう

問91から10までの数字が書かれたカードが1枚ずつ、全部で10枚あります。
（1）この中から8枚を選び、数字の合計が45になる選び方は何通りか、求めなさい。
（2）何枚か選んで合計が45になる選び方は全部で何通りか、求めなさい。

式・計算をかこう

問107枚のカード｛0，1，2，3，4，5，6｝から4枚を使って4けたの整数をつくります。
（1）整数は全部で何通りか。
（2）偶数は何通りか。
（3）3の倍数は何通りか。
（4）5の倍数は何通りか、求めなさい。

式・計算をかこう

問11｛0，1，2，3，4｝の5種類のカードがそれぞれ3枚ずつあります。この中から3枚を取り出して並べ、3けたの整数をつくります。
（1）9の倍数は何通りか。
（2）4の倍数は何通りか。
（3）3の倍数は何通りか、求めなさい。

式・計算をかこう

こたえ・解説

問1こたえ (1) 66試合　(2) 11試合

12チームが参加する野球大会があります。
（1）各チームが他のチームと1試合ずつ行うリーグ戦のとき、全部で何試合行われますか。
（2）トーナメント戦のとき、優勝が決まるまでに全部で何試合行われますか。

（1）リーグ戦の試合数＝12チームから対戦する2チームを選ぶ組み合わせ。12×112×1＝66試合。
（2）トーナメントは1試合ごとにちょうど1チームが負ける。優勝チーム以外の11チームが1回ずつ負けるから、12−1＝11試合。

問2こたえ (1) 35通り　(2) 7通り

A〜Fの6人が、定員4人のルーム①と定員3人のルーム②に分かれます。
（1）6人の分け方は全部で何通りか、求めなさい。
（2）ルーム①に4人、ルーム②に2人が入るとき、A君とB君が同じ部屋になる分け方は全部で何通りか、求めなさい。

（1）②は2人か3人。②2人＝6×52×1＝15、②3人＝6×5×43×2×1＝20。15＋20＝35。
（2）A・Bが①…のこり4人から2人＝4×32×1＝6。A・Bが②…②は2人なので2人ともA・Bで1通り。6＋1＝7。

問3こたえ 112通り

1台に5人乗れる車がAとBの2台あります。この2台に7人が分かれて乗ります。乗り方は全部で何通りか、求めなさい。

どちらの車も5人までだから、Aに乗る人数は2人・3人・4人・5人のどれか（のこりは全員B）。
A2人…7人から2人を選んで 7×62×1＝21通り。　A3人…7×6×53×2×1＝35通り。
A4人…「Bに乗る3人を選ぶ」と考えれば3人のときと同じで35通り。　A5人…「Bの2人を選ぶ」で21通り。
21＋35＋35＋21＝112通り。

問4こたえ (1) 7通り　(2) 9通り

えんぴつが8本あります。これを兄と弟の2人で分けます。
（1）2人とも1本以上もらうとき、分け方は全部で何通りか、求めなさい。
（2）もらわない人がいてもよいとき、全部で何通りか、求めなさい。

例2と同じ「●と仕切り」で考える。えんぴつ8本を●として1列に並べ、1本の仕切りで左右に分ける（左＝兄、右＝弟）。
（1）2人とも1本以上 → 仕切りは●と●の間のすき間に置く。すき間は7か所だから、7通り。
（2）もらわない人がいてもよい → 仕切りをはしに置いてもよい。●8個と仕切り1本を合わせた9個のならぶ場所のうち、どこが仕切りかを選んで9通り。

問5こたえ (1) 15通り　(2) 36通り

みかんが7個あります。これを㋐、㋑、㋒の3つの皿に分けて入れます。
（1）どの皿にも1個以上入る入れ方は全部で何通りか、求めなさい。
（2）空の皿があってもよいとき、全部で何通りか、求めなさい。

例2と同じ「●と仕切り」。みかん7個を●として1列に並べ、2本の仕切りで3つに分ける（左から㋐・㋑・㋒）。
（1）どの皿にも1個以上 → 仕切りは●と●の間のすき間に1本ずつ。

すき間6か所から2か所を選んで、6×52×1＝15通り。
（2）空の皿があってもよい → ●7個と仕切り2本を合わせた9個のならぶ場所のうち、どの2か所が仕切りかを選んで、9×82×1＝36通り。

問6こたえ (1) 20通り　(2) 570通り

1から20までの数字が書かれたカードが1枚ずつ、全部で20枚あります。この中から3枚を選びます。
（1）3枚とも3の倍数になる選び方は何通りか、求めなさい。
（2）3枚の数字の和が偶数になる選び方は何通りか、求めなさい。

（1）3の倍数は3,6,…,18の6枚。6×5×43×2×1＝20。
（2）和が偶数＝「偶＋偶＋偶」か「偶＋奇＋奇」。偶数・奇数は各10枚。偶3枚＝10×9×83×2×1＝120、偶1枚と奇2枚＝10×10×92×1＝10×45＝450。120＋450＝570。

問7こたえ (1) 100通り　(2) 52通り　(3) 40通り　(4) 36通り

6枚のカード｛0，1，2，3，4，5｝から3枚を使って3けたの整数をつくります。
（1）整数は全部で何通りできるか、求めなさい。
（2）偶数は何通りか。
（3）3の倍数は何通りか。
（4）5の倍数は何通りか、求めなさい。

（1）百の位は0以外の5通り、十の位はのこりの5通り、一の位はのこりの4通り。5×5×4＝100。
（2）偶数＝一の位が0・2・4。
一の位0…百5×十4＝20通り。一の位2…百の位は0と2以外の4通り×十の位のこり4通り＝16通り。一の位4も同じく16通り。20＋16＋16＝52。
（3）3の倍数＝各位の和が3の倍数。カードを3で割った余りで分けると、余り0＝{0,3}・余り1＝{1,4}・余り2＝{2,5}。3枚の和が3の倍数になるのは余り0・1・2から1枚ずつ選んだときだけで、2×2×2＝8組。
{0,1,2}{0,1,5}{0,2,4}{0,4,5}…0をふくむ4組は、並べ方が 3×2×1−2×1＝4通りずつ（百の位に0はおけない）。
{1,2,3}{1,3,5}{2,3,4}{3,4,5}…0をふくまない4組は、3×2×1＝6通りずつ。
4×4＋4×6＝16＋24＝40。
（4）5の倍数＝一の位が0か5。一の位0…20通り。一の位5…百の位は0と5以外の4通り×十の位4通り＝16通り。20＋16＝36。

問8こたえ 15通り

ボールが10個あります。これをA、B、Cの3人で分けます。どの人も2個以上もらうとき、分け方は全部で何通りか、求めなさい。

「2個以上」のときは、先に2個ずつ配ってしまうのがコツ。3人に2個ずつ配ると、のこりは 10−6＝4個。
のこりの4個は、もらわない人がいてもよい分け方でよいから、例2の（2）と同じ。●4個と仕切り2本を合わせた6個のならぶ場所から仕切りの2か所を選んで、6×52×1＝15通り。

問9こたえ (1) 4通り　(2) 10通り

1から10までの数字が書かれたカードが1枚ずつ、全部で10枚あります。
（1）この中から8枚を選び、数字の合計が45になる選び方は何通りか、求めなさい。
（2）何枚か選んで合計が45になる選び方は全部で何通りか、求めなさい。

カード全部の合計は 1＋2＋…＋10＝55。合計45で選ぶ＝のぞくカードの合計が10と考える。
（1）8枚選ぶ＝2枚のぞく。合計10になる2枚は (1,9)(2,8)(3,7)(4,6) の4通り。
（2）合計10になるのぞき方を、枚数ごとにすべて書き出す。
1枚…{10}の1通り。　2枚…{1,9}{2,8}{3,7}{4,6}の4通り。
3枚…{1,2,7}{1,3,6}{1,4,5}{2,3,5}の4通り。　4枚…{1,2,3,4}の1通り。
1＋4＋4＋1＝10通り。

問10こたえ (1) 720通り　(2) 420通り　(3) 264通り　(4) 220通り

7枚のカード｛0，1，2，3，4，5，6｝から4枚を使って4けたの整数をつくります。
（1）整数は全部で何通りか。
（2）偶数は何通りか。
（3）3の倍数は何通りか。
（4）5の倍数は何通りか、求めなさい。

（1）千の位は0以外の6通り、あとはのこりから 6×5×4。6×6×5×4＝720。
（2）偶数＝一の位が0・2・4・6。
一の位0…6×5×4＝120通り。一の位2…千の位は0と2以外の5通り、百・十はのこりから5×4＝20で、5×20＝100通り。一の位4・6も各100通り。120＋100×3＝420。
（3）3の倍数＝各位の和が3の倍数。3で割った余りで分けると、余り0＝{0,3,6}・余り1＝{1,4}・余り2＝{2,5}。和が3の倍数になる4枚の組は、
㋐「余り0から2枚＋余り1から1枚＋余り2から1枚」…3×22×1×2×2＝12組　㋑「余り1の2枚＋余り2の2枚」＝{1,4,2,5}の1組
で合計13組。0をふくむ組は㋐のうち8組で、並べ方は各 4×3×2×1−3×2×1＝18通り。0をふくまない5組は各24通り。
8×18＋5×24＝144＋120＝264。
（4）5の倍数＝一の位が0か5。一の位0…120通り。一の位5…千の位は0と5以外の5通り×5×4＝100通り。120＋100＝220。

問11こたえ (1) 10通り　(2) 32通り　(3) 33通り

｛0，1，2，3，4｝の5種類のカードがそれぞれ3枚ずつあります。この中から3枚を取り出して並べ、3けたの整数をつくります。
（1）9の倍数は何通りか。
（2）4の倍数は何通りか。
（3）3の倍数は何通りか、求めなさい。

同じ数字を2枚・3枚使えることに注意（百の位は0以外）。
（1）9の倍数＝各位の和が9の倍数。和はいちばん大きくても4＋4＋4＝12だから、和が9のものだけ。和が9になる3枚の組は {1,4,4}{2,3,4}{3,3,3}。並べ方はそれぞれ3通り・6通り・1通りで、3＋6＋1＝10。
（2）4の倍数＝下2けたが4の倍数。0〜4のカードで作れる下2けたは 00・04・12・20・24・32・40・44 の8通り。百の位は1〜4の4通り（同じ数字も使える）だから、8×4＝32。
（3）3の倍数＝各位の和が3・6・9・12。和ごとに組を書き出して数える。
和3…{0,0,3}は「300」の1通り、{0,1,2}は 6−2＝4通り、{1,1,1}は1通りで、計6通り。
和6…{0,2,4}＝4通り、{0,3,3}＝2通り、{1,1,4}＝3通り、{1,2,3}＝6通り、{2,2,2}＝1通りで、計16通り。
和9…（1）より10通り。　和12…{4,4,4}の1通り。
6＋16＋10＋1＝33。

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