組み合わせ・選び方 ― 計算・応用編

名前日付

順番を区別せずに「選ぶ」のが組み合わせ。上に「○×○×…」、下に「○×…×1」を置いた分数（横線）で計算するのがポイント。「選ぶ」と「選んで並べる」のちがいにも注意します。

Part 1. 例題（解き方）

例 1組み合わせ・選び方選ぶ（組み合わせ）

6人でじゃんけんを行い、上位2名を勝ち組とします。この2名の組み合わせは何通りあるか、求めなさい。

順番（1位2位）は区別しないので、6人から2人を選ぶ組み合わせ。
6×52×1＝15通り。
こたえ 15通り
例 2組み合わせ・選び方条件つきの選び方

男子5人、女子7人のグループがいます。
（1）2名の代表者を選びます。何通りの選び方があるか、求めなさい。
（2）男子1名、女子2名の代表者を選びます。何通りの選び方があるか、求めなさい。

（1）12人から2人を選ぶ＝12×112×1＝66通り。
（2）男子1人＝5通り、女子2人＝7×62×1＝21通り。かけて 5×21＝105通り。
こたえ (1) 66通り　(2) 105通り
例 3組み合わせ・選び方「選ぶ」と「選んで並べる」

9枚のカードがあります。
（1）9枚から4枚のカードを選びます。選び方は全部で何通りか、求めなさい。
（2）9枚から4枚を選んだあと、その4枚を1枚ずつ並べていく方法は全部で何通りか、求めなさい。

（1）選ぶだけなら順番なし＝9×8×7×64×3×2×1＝126通り。
（2）選んだ4枚を並べると順番がつく。126×（4×3×2×1）＝3024通り。
「選ぶ→並べる」で ×（4×3×2×1）＝×24 になる。
こたえ (1) 126通り　(2) 3024通り
例 4組み合わせ・選び方同じ色があるとき（組を書き出す）

箱の中に赤いボールが2個、青いボールが2個、黄色いボールが1個入っています。
（1）この箱からボール2個を取り出すとき、色の組み合わせは全部で何通りか、求めなさい。
（2）2個を取り出して並べるとき、並べ方は全部で何通りか、求めなさい。

同じ色のボールは区別しないので、計算より組を型ごとに書き出すのが確実。
（1）〈2個同じ色〉…赤赤・青青の2通り（黄は1個なので不可）。〈ちがう色〉…赤青・赤黄・青黄の3通り。
2＋3＝5通り。
（2）並べ方は組ごとに数える。2個同じ色…1通りずつで 1×2＝2。ちがう色…左右の入れかえで2通りずつ、2×3＝6。
2＋6＝8通り。
こたえ (1) 5通り　(2) 8通り

Part 2. 練習問題

問1A、B、C、D、E、Fの6人から4人を選ぶ方法は何通りか、求めなさい。
式・計算をかこう
問28人でじゃんけんを行い、上位3名を勝ち組とします。この3名の組み合わせは何通りか、求めなさい。
式・計算をかこう
問35年生が6人、6年生が8人のグループから、5年生2名、6年生2名を代表者として選びます。選び方は何通りか、求めなさい。
式・計算をかこう
問4｛A、A、A、A、B、B、B｝の7個の記号を1列に並べるとき、並べ方は何通りか、求めなさい。
式・計算をかこう
問5男子6人、女子5人、合計11人のグループがいます。
（1）男子3人、女子2名を選ぶとき、選び方は何通りか、求めなさい。
（2）はじめに3人を選び、次に2人を選ぶとき、選び方は何通りか、求めなさい。
式・計算をかこう
問6箱の中に赤いボールが3個、青いボールが3個、黄色いボールが2個入っています。
（1）この箱からボール3個を取り出すとき、色の組み合わせは全部で何通りか、求めなさい。
（2）3個を取り出して並べるとき、並べ方は全部で何通りか、求めなさい。
式・計算をかこう
問7箱の中に黄色いボールが3個、白いボールが1個、緑のボールが4個入っています。
（1）3個を取り出すとき、色の組み合わせは全部で何通りか、求めなさい。
（2）3個を取り出して並べるとき、並べ方は全部で何通りか、求めなさい。
式・計算をかこう
問81のカードが1枚、2のカードが2枚、3のカードが3枚あります。
（1）この中から3枚を選ぶとき、選び方は全部で何通りか、求めなさい。
（2）3枚を並べて3けたの整数をつくるとき、整数は全部で何通りできるか、求めなさい。
式・計算をかこう

こたえ・解説

問1こたえ 15通り

A、B、C、D、E、Fの6人から4人を選ぶ方法は何通りか、求めなさい。

6人から4人を選ぶ＝6×5×4×34×3×2×1＝15。（選ばない2人を選ぶ6×52×1＝15と同じ）
問2こたえ 56通り

8人でじゃんけんを行い、上位3名を勝ち組とします。この3名の組み合わせは何通りか、求めなさい。

8人から3人を選ぶ＝8×7×63×2×1＝56。
問3こたえ 420通り

5年生が6人、6年生が8人のグループから、5年生2名、6年生2名を代表者として選びます。選び方は何通りか、求めなさい。

5年2名＝6×52×1＝15、6年2名＝8×72×1＝28。15×28＝420。
問4こたえ 35通り

｛A、A、A、A、B、B、B｝の7個の記号を1列に並べるとき、並べ方は何通りか、求めなさい。

7か所のうちBを置く3か所を選べば、のこりは自動的にA。7×6×53×2×1＝35。
問5こたえ (1) 200通り　(2) 4620通り

男子6人、女子5人、合計11人のグループがいます。
（1）男子3人、女子2名を選ぶとき、選び方は何通りか、求めなさい。
（2）はじめに3人を選び、次に2人を選ぶとき、選び方は何通りか、求めなさい。

（1）男3人＝6×5×43×2×1＝20、女2人＝5×42×1＝10。20×10＝200。
（2）はじめの3人は11人から選ぶ＝11×10×93×2×1＝165通り。次の2人はのこり8人から選ぶ＝8×72×1＝28通り。
165×28＝4620。
問6こたえ (1) 9通り　(2) 26通り

箱の中に赤いボールが3個、青いボールが3個、黄色いボールが2個入っています。
（1）この箱からボール3個を取り出すとき、色の組み合わせは全部で何通りか、求めなさい。
（2）3個を取り出して並べるとき、並べ方は全部で何通りか、求めなさい。

同じ色のボールは区別しない。
（1）〈3個同じ〉赤赤赤・青青青の2通り（黄は2個なので不可）＋〈2個と1個〉赤赤青・赤赤黄・赤青青・赤黄黄・青青黄・青黄黄の6通り＋〈3色ばらばら〉赤青黄の1通り＝9通り。
（2）並べ方を組ごとに数える。3個とも同じ色の組…並べ方は1通りずつで 1×2＝2。
2個と1個の組…1個の方をどこに置くか（左・中・右）で3通りずつ、3×6＝18。
3色ばらばらの組…3×2×1＝6通りで 6×1＝6。
2＋18＋6＝26通り。
問7こたえ (1) 7通り　(2) 20通り

箱の中に黄色いボールが3個、白いボールが1個、緑のボールが4個入っています。
（1）3個を取り出すとき、色の組み合わせは全部で何通りか、求めなさい。
（2）3個を取り出して並べるとき、並べ方は全部で何通りか、求めなさい。

（1）〈3個同じ〉緑緑緑・黄黄黄の2通り（白は1個）＋〈2個と1個〉白緑緑・白黄黄・緑緑黄・緑黄黄の4通り＋〈3色ばらばら〉白緑黄の1通り＝7通り。
（2）3個とも同じ色…1通りずつで 1×2＝2。2個と1個…1個の方の位置が3通りずつで 3×4＝12。3色ばらばら…3×2×1＝6通りで 6×1＝6。
2＋12＋6＝20通り。
問8こたえ (1) 6通り　(2) 19通り

1のカードが1枚、2のカードが2枚、3のカードが3枚あります。
（1）この中から3枚を選ぶとき、選び方は全部で何通りか、求めなさい。
（2）3枚を並べて3けたの整数をつくるとき、整数は全部で何通りできるか、求めなさい。

1は1枚・2は2枚・3は3枚まで使える。
（1）〈3枚同じ〉333の1通り＋〈2枚と1枚〉122・223・133・233の4通り＋〈ばらばら〉123の1通り＝6通り。
（2）3けたの整数は並べ方を数える。333…1通り。
122・223・133・233…同じ数字2枚と1枚だから、1枚の方の位置（百・十・一）で各3通り、4×3＝12通り。
123…3×2×1＝6通り。
1＋12＋6＝19通り。
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