組み合わせ・選び方計算・応用編

名前日付

順番を区別せずに「選ぶ」のが組み合わせ。上に「○×○×…」、下に「○×…×1」を置いた分数（横線）で計算するのがポイント。「選ぶ」と「選んで並べる」のちがいにも注意します。

Part 1. 例題（解き方）

例 1組み合わせ・選び方選ぶ（組み合わせ）

6人でじゃんけんを行い、上位2名を勝ち組とします。この2名の組み合わせは何通りあるか、求めなさい。

順番（1位2位）は区別しないので、6人から2人を選ぶ組み合わせ。
6×52×1＝15通り。

こたえ 15通り

例 2組み合わせ・選び方条件つきの選び方

男子5人、女子7人のグループがいます。
（1）2名の代表者を選びます。何通りの選び方があるか、求めなさい。
（2）男子1名、女子2名の代表者を選びます。何通りの選び方があるか、求めなさい。

（1）12人から2人を選ぶ＝12×112×1＝66通り。
（2）男子1人＝5通り、女子2人＝7×62×1＝21通り。かけて 5×21＝105通り。

こたえ (1) 66通り　(2) 105通り

例 3組み合わせ・選び方「選ぶ」と「選んで並べる」

9枚のカードがあります。
（1）9枚から4枚のカードを選びます。選び方は全部で何通りか、求めなさい。
（2）9枚から4枚を選んだあと、その4枚を1枚ずつ並べていく方法は全部で何通りか、求めなさい。

（1）選ぶだけなら順番なし＝9×8×7×64×3×2×1＝126通り。
（2）選んだ4枚を並べると順番がつく。126×（4×3×2×1）＝3024通り。
「選ぶ→並べる」で ×（4×3×2×1）＝×24 になる。

こたえ (1) 126通り　(2) 3024通り

例 4組み合わせ・選び方同じ色があるとき（組を書き出す）

箱の中に赤いボールが2個、青いボールが2個、黄色いボールが1個入っています。
（1）この箱からボール2個を取り出すとき、色の組み合わせは全部で何通りか、求めなさい。
（2）2個を取り出して並べるとき、並べ方は全部で何通りか、求めなさい。

同じ色のボールは区別しないので、計算より組を型ごとに書き出すのが確実。
（1）〈2個同じ色〉…赤赤・青青の2通り（黄は1個なので不可）。〈ちがう色〉…赤青・赤黄・青黄の3通り。
2＋3＝5通り。
（2）並べ方は組ごとに数える。2個同じ色…1通りずつで 1×2＝2。ちがう色…左右の入れかえで2通りずつ、2×3＝6。
2＋6＝8通り。

こたえ (1) 5通り　(2) 8通り

例 5組み合わせ・選び方必ず入る・入らない

A、B、C、D、E、F、Gの7人から3人の代表を選びます。
（1）Aが必ず入る選び方は何通りか、求めなさい。
（2）Aが入らない選び方は何通りか、求めなさい。

（1）Aを先に代表に入れてしまう。のこりの2人は、A以外の6人から選ぶ＝6×52×1＝15通り。
（2）Aをはずした6人から3人を選ぶ＝6×5×43×2×1＝20通り。
（1）と（2）を合わせた15＋20＝35通りは、7人から3人を選ぶ7×6×53×2×1＝35通りと同じになる。

こたえ (1) 15通り　(2) 20通り

例 6組み合わせ・選び方少なくとも1人（全体から引く）

男子4人、女子3人の7人から3人を選びます。女子が少なくとも1人入る選び方は何通りか、求めなさい。

「少なくとも1人」は、全体から「1人も入らない」を引くと早い。
全体＝7人から3人＝7×6×53×2×1＝35通り。
女子が1人も入らない＝男子4人から3人＝4×3×23×2×1＝4通り。
35−4＝31通り。
女子の人数で分けて数えても同じ。女子1人…3×4×32×1＝18通り、女子2人…3×22×1×4＝12通り、女子3人…1通り。18＋12＋1＝31通り。

こたえ 31通り

例 7組み合わせ・選び方対角線の本数

六角形の対角線は全部で何本あるか、求めなさい。

6つの頂点から2つを選んで結ぶと、線は6×52×1＝15本。
そのうち6本は辺なので、対角線は 15−6＝9本。
別の見方：1つの頂点からは、自分ととなりの2つをのぞいた 6−3＝3本の対角線が引ける（図の点線）。6つの頂点で 3×6＝18本だが、1本の対角線を両はしの頂点で2回ずつ数えているので、3×62＝9本。

こたえ 9本

Part 2. 練習問題

問1A、B、C、D、E、Fの6人から4人を選ぶ方法は何通りか、求めなさい。

式・計算をかこう

問28人でじゃんけんを行い、上位3名を勝ち組とします。この3名の組み合わせは何通りか、求めなさい。

式・計算をかこう

問35年生が6人、6年生が8人のグループから、5年生2名、6年生2名を代表者として選びます。選び方は何通りか、求めなさい。

式・計算をかこう

問4｛A、A、A、A、B、B、B｝の7個の記号を1列に並べるとき、並べ方は何通りか、求めなさい。

式・計算をかこう

問5A、B、C、D、E、F、G、Hの8人から3人の委員を選びます。
（1）AとBがどちらも入る選び方は何通りか、求めなさい。
（2）AもBも入らない選び方は何通りか、求めなさい。
（3）Aは入るがBは入らない選び方は何通りか、求めなさい。

式・計算をかこう

問61から9までの数字が1つずつ書かれた9枚のカードから3枚を選びます。偶数のカードが少なくとも1枚入る選び方は何通りか、求めなさい。

式・計算をかこう

問7八角形の対角線は全部で何本あるか、求めなさい。

式・計算をかこう

問8男子6人、女子5人、合わせて11人がいます。
（1）男子から3人、女子から2人を選ぶとき、選び方は何通りか、求めなさい。
（2）11人の中から、まずそうじ係を3人選び、次にのこりの8人から給食係を2人選びます。係の決め方は何通りか、求めなさい。

式・計算をかこう

問9箱の中に赤いボールが3個、青いボールが3個、黄色いボールが2個入っています。
（1）この箱からボール3個を取り出すとき、色の組み合わせは全部で何通りか、求めなさい。
（2）3個を取り出して並べるとき、並べ方は全部で何通りか、求めなさい。

式・計算をかこう

問10箱の中に黄色いボールが3個、白いボールが1個、緑のボールが4個入っています。
（1）3個を取り出すとき、色の組み合わせは全部で何通りか、求めなさい。
（2）3個を取り出して並べるとき、並べ方は全部で何通りか、求めなさい。

式・計算をかこう

問111のカードが1枚、2のカードが2枚、3のカードが3枚あります。
（1）この中から3枚を選ぶとき、選び方は全部で何通りか、求めなさい。
（2）3枚を並べて3けたの整数をつくるとき、整数は全部で何通りできるか、求めなさい。

式・計算をかこう

問126年生4人、5年生5人の9人から4人の委員を選びます。
（1）6年生が少なくとも1人入る選び方は何通りか、求めなさい。
（2）6年生も5年生も少なくとも1人ずつ入る選び方は何通りか、求めなさい。

式・計算をかこう

問13対角線が全部で27本ある多角形は、何角形か、求めなさい。

式・計算をかこう

こたえ・解説

問1こたえ 15通り

A、B、C、D、E、Fの6人から4人を選ぶ方法は何通りか、求めなさい。

6人から4人を選ぶ＝6×5×4×34×3×2×1＝15。（選ばない2人を選ぶ6×52×1＝15と同じ）

問2こたえ 56通り

8人でじゃんけんを行い、上位3名を勝ち組とします。この3名の組み合わせは何通りか、求めなさい。

8人から3人を選ぶ＝8×7×63×2×1＝56。

問3こたえ 420通り

5年生が6人、6年生が8人のグループから、5年生2名、6年生2名を代表者として選びます。選び方は何通りか、求めなさい。

5年2名＝6×52×1＝15、6年2名＝8×72×1＝28。15×28＝420。

問4こたえ 35通り

｛A、A、A、A、B、B、B｝の7個の記号を1列に並べるとき、並べ方は何通りか、求めなさい。

7か所のうちBを置く3か所を選べば、のこりは自動的にA。7×6×53×2×1＝35。

問5こたえ (1) 6通り　(2) 20通り　(3) 15通り

A、B、C、D、E、F、G、Hの8人から3人の委員を選びます。
（1）AとBがどちらも入る選び方は何通りか、求めなさい。
（2）AもBも入らない選び方は何通りか、求めなさい。
（3）Aは入るがBは入らない選び方は何通りか、求めなさい。

（1）AとBを先に入れる。のこり1人はA・B以外の6人から選ぶ＝6通り。
（2）A・Bをはずした6人から3人＝6×5×43×2×1＝20通り。
（3）Aを先に入れ、Bははずす。のこり2人はA・B以外の6人から選ぶ＝6×52×1＝15通り。

問6こたえ 74通り

1から9までの数字が1つずつ書かれた9枚のカードから3枚を選びます。偶数のカードが少なくとも1枚入る選び方は何通りか、求めなさい。

全体＝9枚から3枚＝9×8×73×2×1＝84通り。
偶数が1枚も入らない＝奇数（1・3・5・7・9）の5枚から3枚＝5×4×33×2×1＝10通り。
84−10＝74通り。

問7こたえ 20本

八角形の対角線は全部で何本あるか、求めなさい。

8つの頂点から2つを選ぶ＝8×72×1＝28本。そのうち8本は辺なので、28−8＝20本。
（1つの頂点から 8−3＝5本、5×82＝20本と数えてもよい）

問8こたえ (1) 200通り　(2) 4620通り

男子6人、女子5人、合わせて11人がいます。
（1）男子から3人、女子から2人を選ぶとき、選び方は何通りか、求めなさい。
（2）11人の中から、まずそうじ係を3人選び、次にのこりの8人から給食係を2人選びます。係の決め方は何通りか、求めなさい。

（1）男3人＝6×5×43×2×1＝20、女2人＝5×42×1＝10。20×10＝200。
（2）そうじ係の3人は11人から選ぶ＝11×10×93×2×1＝165通り。給食係の2人はのこりの8人から選ぶ＝8×72×1＝28通り。
165×28＝4620。

問9こたえ (1) 9通り　(2) 26通り

箱の中に赤いボールが3個、青いボールが3個、黄色いボールが2個入っています。
（1）この箱からボール3個を取り出すとき、色の組み合わせは全部で何通りか、求めなさい。
（2）3個を取り出して並べるとき、並べ方は全部で何通りか、求めなさい。

同じ色のボールは区別しない。
（1）〈3個同じ〉赤赤赤・青青青の2通り（黄は2個なので不可）＋〈2個と1個〉赤赤青・赤赤黄・赤青青・赤黄黄・青青黄・青黄黄の6通り＋〈3色ばらばら〉赤青黄の1通り＝9通り。
（2）並べ方を組ごとに数える。3個とも同じ色の組…並べ方は1通りずつで 1×2＝2。
2個と1個の組…1個の方をどこに置くか（左・中・右）で3通りずつ、3×6＝18。
3色ばらばらの組…3×2×1＝6通りで 6×1＝6。
2＋18＋6＝26通り。

問10こたえ (1) 7通り　(2) 20通り

箱の中に黄色いボールが3個、白いボールが1個、緑のボールが4個入っています。
（1）3個を取り出すとき、色の組み合わせは全部で何通りか、求めなさい。
（2）3個を取り出して並べるとき、並べ方は全部で何通りか、求めなさい。

（1）〈3個同じ〉緑緑緑・黄黄黄の2通り（白は1個）＋〈2個と1個〉白緑緑・白黄黄・緑緑黄・緑黄黄の4通り＋〈3色ばらばら〉白緑黄の1通り＝7通り。
（2）3個とも同じ色…1通りずつで 1×2＝2。2個と1個…1個の方の位置が3通りずつで 3×4＝12。3色ばらばら…3×2×1＝6通りで 6×1＝6。
2＋12＋6＝20通り。

問11こたえ (1) 6通り　(2) 19通り

1のカードが1枚、2のカードが2枚、3のカードが3枚あります。
（1）この中から3枚を選ぶとき、選び方は全部で何通りか、求めなさい。
（2）3枚を並べて3けたの整数をつくるとき、整数は全部で何通りできるか、求めなさい。

1は1枚・2は2枚・3は3枚まで使える。
（1）〈3枚同じ〉333の1通り＋〈2枚と1枚〉122・223・133・233の4通り＋〈ばらばら〉123の1通り＝6通り。
（2）3けたの整数は並べ方を数える。333…1通り。
122・223・133・233…同じ数字2枚と1枚だから、1枚の方の位置（百・十・一）で各3通り、4×3＝12通り。
123…3×2×1＝6通り。
1＋12＋6＝19通り。

問12こたえ (1) 121通り　(2) 120通り

6年生4人、5年生5人の9人から4人の委員を選びます。
（1）6年生が少なくとも1人入る選び方は何通りか、求めなさい。
（2）6年生も5年生も少なくとも1人ずつ入る選び方は何通りか、求めなさい。

全体＝9人から4人＝9×8×7×64×3×2×1＝126通り。
（1）6年生が1人も入らない＝5年生5人から4人＝5×4×3×24×3×2×1＝5通り。126−5＝121通り。
（2）だめなのは「5年生だけ」と「6年生だけ」。5年生だけ＝5通り、6年生だけ＝4人から4人の1通り。126−5−1＝120通り。

問13こたえ 九角形

対角線が全部で27本ある多角形は、何角形か、求めなさい。

□角形とすると、1つの頂点から引ける対角線は（□−3）本。□個の頂点で□×（□−3）本だが、どの対角線も2回ずつ数えているので、□×（□−3）＝27×2＝54。
3ちがいの2つの数をかけて54になるのは 9×6＝54。□＝9 なので九角形。
（九角形の対角線：9×82×1−9＝36−9＝27本で合う）

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