ぬり分け・図形計算・応用編

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ぬり分けは「色の選び方×ぬり方」、図形の数え上げは「点や線の選び方」で計算します。

Part 1. 例題（解き方）

例 1ぬり分け・図形ぬり分け（色の選び方×ぬり方）

図の㋐、㋑、㋒の部分を赤、青、黄、緑、黒の5色のうちちょうど3色を使ってぬり分けます。ただし、となりあう部分は同じ色にならないようにぬり分けます。ぬり分け方は全部で何通りありますか。

㋐・㋑・㋒はすべてとなりあうので、3つとも別の色になる。
使う3色の選び方＝5×4×33×2×1＝10通り。
選んだ3色のぬり方＝3×2×1＝6通り。
10×6＝60通り。

こたえ 60通り

例 2ぬり分け・図形図形の数え上げ（点の選び方）

図のように円周を5等分する点をA、B、C、D、Eとします。5個の点から3個の点を結んでできる三角形の数は何個あるか、求めなさい。

どの3点も一直線上にないので、3点の選び方の数がそのまま三角形の数になる。
5×4×33×2×1＝10個。

こたえ 10個

Part 2. 練習問題

問1図のように円周を6等分する点をA、B、C、D、E、Fとします。これについて次の問いに答えなさい。
（1）6個の点から3個の点を結んでできる三角形の数は何個あるか、求めなさい。
（2）6個の点から4個の点を結んでできる四角形の数は何個あるか、求めなさい。
（3）6個の点から2個の点を選んでできる直線の数は何本あるか、求めなさい。

式・計算をかこう

問2図の直線㋐、㋑、㋒、㋓と直線①、②、③、④、⑤はそれぞれ平行です。この図の中に平行四辺形は全部で何個ありますか。

式・計算をかこう

問3図のように8本の直線が交わっています。この図の中にある四角形の数は全部でいくつになるか、求めなさい。

式・計算をかこう

問4図の㋐、㋑、㋒、㋓の部分を赤、青、黄、緑、黒の5色を使ってぬりわけます。ただし、となりあう部分は同じ色にならないようにぬり分けます。これについて次の問いに答えなさい。
（1）5色のうちちょうど4色を使うとき、ぬり分ける方法は何通りあるか、求めなさい。
（2）5色のうちちょうど3色を使うとき、ぬり分ける方法は何通りあるか、求めなさい。

式・計算をかこう

問5図の㋐、㋑、㋒、㋓の部分を赤、青、黄、緑、黒の5色を使ってぬりわけます。ただし、となりあう部分は同じ色にならないようにぬり分けます。これについて次の問いに答えなさい。
（1）5色のうちちょうど4色を使うとき、ぬり分ける方法は何通りあるか、求めなさい。
（2）5色のうちちょうど3色を使うとき、ぬり分ける方法は何通りあるか、求めなさい。
（3）5色のうちちょうど2色を使うとき、ぬり分ける方法は何通りあるか、求めなさい。

式・計算をかこう

問6図の㋐、㋑、㋒、㋓の4つの部分を赤、青、黄、緑、黒の5色を使ってぬりわけます。ただし、となりあう部分は同じ色にならないようにぬり分けます。これについて次の問いに答えなさい。
（1）5色のうちちょうど4色を使うとき、ぬり分ける方法は何通りあるか、求めなさい。
（2）5色のうちちょうど3色を使うとき、ぬり分ける方法は何通りあるか、求めなさい。
（3）何色使っても良い時、ぬり分ける方法は何通りあるか、求めなさい。

式・計算をかこう

問7図の㋐、㋑、㋒、㋓の部分を赤、青、黄、緑の4色を使ってぬりわけます。ただし、となりあう部分は同じ色にならないようにぬり分けます。これについて次の問いに答えなさい。
（1）4色すべてを使う時、ぬり分ける方法は何通りあるか、求めなさい。
（2）4色のうちちょうど3色を使うとき、ぬり分ける方法は何通りあるか、求めなさい。
（3）使わない色があっても良いものとして、全部で何通りのぬり分け方法があるか、求めなさい。

式・計算をかこう

問8図のように平行四辺形の各辺と平行になるように直線を引きました。この図の中に、平行四辺形は全部で何個ありますか。

式・計算をかこう

問9図のように、三角形ABCの辺上に①～⑪の11個の点があります。この11個の点の中から3個を選んで三角形を作る時、三角形は全部で何個できますか。

式・計算をかこう

問10図のように、三角形ABCの辺上に①～⑩の10個の点があります。この10個の点の中から3個を選んで三角形を作る時、三角形は全部で何個できますか。

式・計算をかこう

問11図のような1辺が1cmの方眼紙があります。これについて次の問いに答えなさい。
（1）この中にある大きさの異なる正方形は全部で何種類ですか。
（2）正方形は全部で何個ありますか。
（3）この中に長方形は全部で何個ありますか。ただし、正方形は除きます。

式・計算をかこう

問12図の㋐、㋑、㋒、㋓、㋔の5つに分かれた部分を赤、青、黄、緑、黒の5色を使ってぬりわけます。ただし、となりあう部分は同じ色にならないようにぬり分けます。これについて次の問いに答えなさい。
（1）5色のうちちょうど4色を使うとき、ぬり分ける方法は何通りあるか、求めなさい。
（2）5色のうちちょうど3色を使うとき、ぬり分ける方法は何通りあるか、求めなさい。
（3）何色使っても良い時、ぬり分ける方法は何通りあるか、求めなさい。

式・計算をかこう

問13図のように三角形ABCの頂点Aから5本の直線を引きました。この直線によって多くの三角形ができました。図の三角形は全部で何個ありますか。

式・計算をかこう

こたえ・解説

問1こたえ (1) 20個　(2) 15個　(3) 15本

図のように円周を6等分する点をA、B、C、D、E、Fとします。これについて次の問いに答えなさい。
（1）6個の点から3個の点を結んでできる三角形の数は何個あるか、求めなさい。
（2）6個の点から4個の点を結んでできる四角形の数は何個あるか、求めなさい。
（3）6個の点から2個の点を選んでできる直線の数は何本あるか、求めなさい。

どの3点も一直線上にないので、点の選び方を数える。
（1）6×5×43×2×1＝20個。（2）6×5×4×34×3×2×1＝15個。（3）6×52×1＝15本。

問2こたえ 60個

図の直線㋐、㋑、㋒、㋓と直線①、②、③、④、⑤はそれぞれ平行です。この図の中に平行四辺形は全部で何個ありますか。

平行四辺形は「横の2本」と「ななめの2本」で1つ決まる。
横4本から2本＝4×32×1＝6通り、ななめ5本から2本＝5×42×1＝10通り。
6×10＝60個。

問3こたえ 36個

図のように8本の直線が交わっています。この図の中にある四角形の数は全部でいくつになるか、求めなさい。

四角形は「たての2本」と「よこの2本」で1つ決まる。
たて4本から2本＝4×32×1＝6通り、よこも6通り。6×6＝36個。

問4こたえ (1) 120通り　(2) 180通り

図の㋐、㋑、㋒、㋓の部分を赤、青、黄、緑、黒の5色を使ってぬりわけます。ただし、となりあう部分は同じ色にならないようにぬり分けます。これについて次の問いに答えなさい。
（1）5色のうちちょうど4色を使うとき、ぬり分ける方法は何通りあるか、求めなさい。
（2）5色のうちちょうど3色を使うとき、ぬり分ける方法は何通りあるか、求めなさい。

（1）4色使う＝4つの部分が全部ちがう色。使う4色の選び方＝5×4×3×24×3×2×1＝5通り。4色のぬり方＝4×3×2×1＝24通り。5×24＝120通り。
（2）使う3色の選び方＝5×4×33×2×1＝10通り。3色でのぬり方は、㋐3→㋑2→㋒2→㋓2＝24通りから、2色だけのぬり方（2色の選び方3×交互のぬり方2＝6通り）を引いて18通り。10×18＝180通り。

問5こたえ (1) 120通り　(2) 120通り　(3) 20通り

田の字は、ななめどうし（㋐と㋓、㋑と㋒）だけ同じ色にできる。
（1）4色使う＝4つの部分が全部ちがう色。使う4色の選び方＝5×4×3×24×3×2×1＝5通り、ぬり方＝4×3×2×1＝24通り。5×24＝120通り。
（2）使う3色の選び方＝5×4×33×2×1＝10通り。選んだ3色でのぬり方は、ななめの㋐・㋓が同じ色なら 3×2×2＝12通り、ちがう色なら㋑・㋒がのこりの1色に決まって 3×2×1×1＝6通りで、合わせて18通り。ここから2色だけのぬり方（市松の6通り）を引いて12通り。
10×12＝120通り。
（3）使う2色の選び方＝5×42×1＝10通り。ぬり方は「㋐・㋓が一方の色、㋑・㋒がもう一方の色」の市松もようで2通り。10×2＝20通り。

問6こたえ (1) 120通り　(2) 60通り　(3) 180通り

図の㋐、㋑、㋒、㋓の4つの部分を赤、青、黄、緑、黒の5色を使ってぬりわけます。ただし、となりあう部分は同じ色にならないようにぬり分けます。これについて次の問いに答えなさい。
（1）5色のうちちょうど4色を使うとき、ぬり分ける方法は何通りあるか、求めなさい。
（2）5色のうちちょうど3色を使うとき、ぬり分ける方法は何通りあるか、求めなさい。
（3）何色使っても良い時、ぬり分ける方法は何通りあるか、求めなさい。

（1）4色使う＝4つの部分が全部ちがう色。使う4色の選び方＝5×4×3×24×3×2×1＝5通り、ぬり方＝4×3×2×1＝24通り。5×24＝120通り。
（2）㋐・㋑・㋒はすべてとなりあうので3つとも別の色。㋓は㋐・㋒とちがう色だから、㋑と同じ色の1通りに決まる。使う3色の選び方＝5×4×33×2×1＝10通り、ぬり方＝㋐㋑㋒の 3×2×1＝6通り。10×6＝60通り。
（3）㋐から順にぬる。㋐5→㋑4→㋒3（㋐㋑とちがう）→㋓3（㋐㋒とちがう）＝5×4×3×3＝180通り。

問7こたえ (1) 24通り　(2) 24通り　(3) 48通り

図の㋐、㋑、㋒、㋓の部分を赤、青、黄、緑の4色を使ってぬりわけます。ただし、となりあう部分は同じ色にならないようにぬり分けます。これについて次の問いに答えなさい。
（1）4色すべてを使う時、ぬり分ける方法は何通りあるか、求めなさい。
（2）4色のうちちょうど3色を使うとき、ぬり分ける方法は何通りあるか、求めなさい。
（3）使わない色があっても良いものとして、全部で何通りのぬり分け方法があるか、求めなさい。

㋓は㋐・㋑・㋒の全部ととなりあうことに注意。
（1）4色すべて＝4つの部分が全部ちがう色＝4×3×2×1＝24通り。
（2）3色の選び方＝4×3×23×2×1＝4通り。3色ちょうどのぬり方は、㋐と㋒だけ同じ色にできるので3×2×1＝6通り。4×6＝24通り。
（3）㋓から順にぬる。㋓4→㋐3→㋑2（㋐㋓とちがう）→㋒2（㋑㋓とちがう）＝4×3×2×2＝48通り。

問8こたえ 36個

図のように平行四辺形の各辺と平行になるように直線を引きました。この図の中に、平行四辺形は全部で何個ありますか。

横の直線4本から2本＝4×32×1＝6通り、ななめの直線4本から2本＝6通り。
6×6＝36個。

問9こたえ 156個

図のように、三角形ABCの辺上に①～⑪の11個の点があります。この11個の点の中から3個を選んで三角形を作る時、三角形は全部で何個できますか。

3点の選び方は11×10×93×2×1＝165通り。ただし、同じ辺の上の3点では三角形ができない。
AB上の4点から3点＝4通り、BC上の4点から3点＝4通り、CA上の3点から3点＝1通り。
165−（4＋4＋1）＝156個。

問10こたえ 114個

図のように、三角形ABCの辺上に①～⑩の10個の点があります。この10個の点の中から3個を選んで三角形を作る時、三角形は全部で何個できますか。

3点の選び方は10×9×83×2×1＝120通り。同じ辺の上の3点を引く。
AB上の4点から3点＝4通り、BC上・CA上の3点から3点＝各1通り。
120−（4＋1＋1）＝114個。

問11こたえ (1) 4種類　(2) 30個　(3) 70個

図のような1辺が1cmの方眼紙があります。これについて次の問いに答えなさい。
（1）この中にある大きさの異なる正方形は全部で何種類ですか。
（2）正方形は全部で何個ありますか。
（3）この中に長方形は全部で何個ありますか。ただし、正方形は除きます。

（1）1辺が1cm・2cm・3cm・4cmの4種類。
（2）1cm＝16個、2cm＝9個、3cm＝4個、4cm＝1個。16＋9＋4＋1＝30個。
（3）四角形は「たての線2本」と「よこの線2本」で1つ決まる。たて5本から2本＝5×42×1＝10通り、よこも10通りで、四角形は全部で10×10＝100個。正方形を除いて100−30＝70個。

問12こたえ (1) 360通り　(2) 60通り　(3) 540通り

図の㋐、㋑、㋒、㋓、㋔の5つに分かれた部分を赤、青、黄、緑、黒の5色を使ってぬりわけます。ただし、となりあう部分は同じ色にならないようにぬり分けます。これについて次の問いに答えなさい。
（1）5色のうちちょうど4色を使うとき、ぬり分ける方法は何通りあるか、求めなさい。
（2）5色のうちちょうど3色を使うとき、ぬり分ける方法は何通りあるか、求めなさい。
（3）何色使っても良い時、ぬり分ける方法は何通りあるか、求めなさい。

㋐は右の4つ全部と、右の4つは上下どうしがとなりあう。
（2）から考えると分かりやすい。3色ちょうどのぬり方は、㋐に1色、㋑〜㋔にのこり2色を交互（例：赤青赤青）にぬるしかないので、㋐の色3通り×交互のぬり方2通り＝6通り。使う3色の選び方＝5×4×33×2×1＝10通りだから、10×6＝60通り。
（1）4色ちょうどのぬり方は、「4色で何色使ってもよいぬり方」から「3色だけのぬり方」を引く。4色なら㋐4→㋑3→㋒2（㋐㋑とちがう）→㋓2（㋐㋒とちがう）→㋔2（㋐㋓とちがう）＝4×3×2×2×2＝96通り。3色だけは、3色の選び方4×3×23×2×1＝4通り×6通り＝24通り。96−24＝72通り。
使う4色の選び方＝5×4×3×24×3×2×1＝5通りだから、5×72＝360通り。
（3）何色でもよいなら、㋐5→㋑4→㋒3→㋓3→㋔3＝5×4×3×3×3＝540通り。

問13こたえ 21個

図のように三角形ABCの頂点Aから5本の直線を引きました。この直線によって多くの三角形ができました。図の三角形は全部で何個ありますか。

三角形は、Aから出る2本の直線と辺BCで1つ決まる。
Aから出る直線は、辺AB・辺ACも合わせて7本。
7本から2本＝7×62×1＝21個。

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