ならべ方・カード計算・応用編

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人数やカードが多く、全部書き出すのは大変。かけ算のきまり（順列）と「組にまとめる」「位ごとに分ける」で計算します。

Part 1. 例題（解き方）

例 1ならべ方・カード5人を並べる

A、B、C、D、Eの5人が1列に並ぶとき、並び方は何通りか、求めなさい。

1人目から順に、選べる人が5→4→3→2→1と減る。
5×4×3×2×1＝120通り。

こたえ 120通り

例 2ならべ方・カードとなりあう（組にまとめる）

A、B、C、D、Eの5人が横一列に並びます。CとDがとなりあって並ぶとき、並び方は全部で何通りか、求めなさい。

となりあうC・Dを1つの組〔CD〕とみなすと、〔CD〕・A・B・Eの4つを並べる＝4×3×2×1＝24通り。
〔CD〕の中がCD／DCの2通り。24×2＝48通り。

こたえ 48通り

例 3ならべ方・カードカードで4けたの整数

5枚のカード｛0，1，2，3，4｝の中から4枚を使って4けたの整数をつくります。
（1）整数は全部で何通りできるか、求めなさい。
（2）偶数は何通りできるか、求めなさい。

（1）いちばん上の位は0が使えないので4通り、のこりの3つの位は0をふくむ4枚から並べて4×3×2。
4×4×3×2＝96通り。
（2）一の位が偶数（0・2・4）。
・一の位0…のこり4×3×2＝24　・一の位2／4…各 3×3×2＝18（千の位は0以外）
24＋18＋18＝60通り。

こたえ (1) 96通り　(2) 60通り

例 4ならべ方・カード交互に並ぶ（型を先に決める）

2人の男子A、Bと2人の女子C、Dの4人が1列に並びます。男女が交互に並ぶとき、並び方は全部で何通りか、求めなさい。

まず並びの型を決める。「男女男女」か「女男女男」の2通り。
どちらの型でも、男子の入り方が 2×1＝2通り、女子の入り方が 2×1＝2通り。
2×2×2＝8通り。

こたえ 8通り

例 5ならべ方・カード同じものの並べ方（場所を選ぶ）

白い碁石2個と黒い碁石3個を1列に並べます。並べ方は全部で何通りか、求めなさい。

同じ色の碁石は区別しないので、入れかえても同じ並び。
5か所のうち白を置く2か所を選べば、のこりは自動的に黒になる。
5×42×1＝10通り。

こたえ 10通り

Part 2. 練習問題

問1A、B、C、D、Eの5人が1列に並ぶとき、Eが先頭にくる並び方は何通りか、求めなさい。

式・計算をかこう

問2A、B、C、D、Eの5人が横一列に並びます。AとBは必ず先頭か最後尾にいることが条件です。このような並び方は全部で何通りか、求めなさい。

式・計算をかこう

問33人の男子A、B、Cと3人の女子D、E、Fの6人が1列に並びます。男女が交互に並ぶとき、並び方は全部で何通りか、求めなさい。

式・計算をかこう

問44枚のカード｛0，1，2，3｝の中から3枚を使って3けたの整数をつくります。
（1）整数は全部で何通りできるか、求めなさい。
（2）3の倍数は何通りできるか、求めなさい。

式・計算をかこう

問5｛0，1，4，7，7｝の5枚のカードの中から3枚を取り出して3けたの整数をつくります。
（1）7のカードが1枚しか使えない時、3けたの整数は全部で何通りできるか、求めなさい。
（2）5枚のカードのどれを使ってもよいとき、3けたの整数は全部で何通りできるか、求めなさい。
（3）（2）のとき、3けたの偶数は全部で何通りできるか、求めなさい。

式・計算をかこう

問6｛1，2，3，3，4｝の5枚のカードがあります。この中から3枚を取り出して3けたの整数をつくります。
（1）3のカードを1枚だけ使うとき、3けたの整数は全部で何通りできるか、求めなさい。
（2）3のカードを必ず2枚使うとき、3けたの整数は全部で何通りできるか、求めなさい。
（3）3けたの整数は全部で何通りできるか、求めなさい。

式・計算をかこう

問73人の男子A、B、Cと3人の女子D、E、Fの6人が1列に並びます。
（1）6人の並び方は全部で何通りになるか、求めなさい。
（2）DとEがとなりあう並び方は全部で何通りか、求めなさい。
（3）男子と女子が交互に並ぶ並び方は全部で何通りか、求めなさい。

式・計算をかこう

問83人の男子A、B、Cと4人の女子D、E、F、Gの7人が1列に並びます。
（1）7人の並び方は全部で何通りか、求めなさい。
（2）男子と女子が交互に並ぶ並び方は全部で何通りか、求めなさい。
（3）男子3人がとなりあう並び方は全部で何通りか、求めなさい。
（4）一方のはしに男子、もう一方のはしに女子が並ぶ並び方は全部で何通りか、求めなさい。

式・計算をかこう

問9100円硬貨4枚と10円硬貨3枚があります。この7枚の硬貨を1列に並べます。
（1）並べ方は全部で何通りか、求めなさい。
（2）両はしが100円硬貨となる並べ方は全部で何通りか、求めなさい。
（3）10円硬貨がとなりあわない並べ方は全部で何通りか、求めなさい。

式・計算をかこう

こたえ・解説

問1こたえ 24通り

A、B、C、D、Eの5人が1列に並ぶとき、Eが先頭にくる並び方は何通りか、求めなさい。

Eを先頭に固定→のこり4人を並べる＝4×3×2×1＝24。

問2こたえ 12通り

A、B、C、D、Eの5人が横一列に並びます。AとBは必ず先頭か最後尾にいることが条件です。このような並び方は全部で何通りか、求めなさい。

両はしのA・Bの置き方は「先頭A・最後尾B」「先頭B・最後尾A」の2通り。
間に入る3人（C・D・E）の並び方は 3×2×1＝6通り。
2×6＝12。

問3こたえ 72通り

3人の男子A、B、Cと3人の女子D、E、Fの6人が1列に並びます。男女が交互に並ぶとき、並び方は全部で何通りか、求めなさい。

「男女男女男女」「女男女男女男」の2通り×男子（3×2×1）×女子（3×2×1）＝2×6×6＝72。

問4こたえ (1) 18通り　(2) 10通り

4枚のカード｛0，1，2，3｝の中から3枚を使って3けたの整数をつくります。
（1）整数は全部で何通りできるか、求めなさい。
（2）3の倍数は何通りできるか、求めなさい。

（1）百の位は0以外で3通り、十の位はのこりの3通り、一の位は2通り。3×3×2＝18。
（2）3の倍数＝各位の和が3の倍数。和が3の倍数になる3枚の組は｛0,1,2｝（和3）と｛1,2,3｝（和6）の2組だけ。
｛0,1,2｝…並べ方 3×2×1＝6通りから、百の位が0になる 2×1＝2通りを引いて4通り。
｛1,2,3｝…3×2×1＝6通り。
4＋6＝10。

問5こたえ (1) 18通り　(2) 26通り　(3) 12通り

｛0，1，4，7，7｝の5枚のカードの中から3枚を取り出して3けたの整数をつくります。
（1）7のカードが1枚しか使えない時、3けたの整数は全部で何通りできるか、求めなさい。
（2）5枚のカードのどれを使ってもよいとき、3けたの整数は全部で何通りできるか、求めなさい。
（3）（2）のとき、3けたの偶数は全部で何通りできるか、求めなさい。

（1）7が1枚なら、カードは｛0,1,4,7｝の4種類。百の位は0以外の3通り×十の位3通り×一の位2通り＝18。
（2）（1）の18通りに、7を2枚使う整数を加える。7・7ともう1枚（0か1か4）で、
7・7と1…1の位置は百・十・一の3通り。7・7と4…同じく3通り。7・7と0…0は百の位におけないので十・一の2通り。
3＋3＋2＝8通り。18＋8＝26。
（3）偶数＝一の位が0か4。
一の位0…のこりは｛1,4,7,7｝。百・十の並びは (1,4)(4,1)(1,7)(7,1)(4,7)(7,4)(7,7) の7通り。
一の位4…のこりは｛0,1,7,7｝で百の位は0以外。(1,0)(1,7)(7,0)(7,1)(7,7) の5通り。
7＋5＝12。

問6こたえ (1) 18通り　(2) 9通り　(3) 33通り

｛1，2，3，3，4｝の5枚のカードがあります。この中から3枚を取り出して3けたの整数をつくります。
（1）3のカードを1枚だけ使うとき、3けたの整数は全部で何通りできるか、求めなさい。
（2）3のカードを必ず2枚使うとき、3けたの整数は全部で何通りできるか、求めなさい。
（3）3けたの整数は全部で何通りできるか、求めなさい。

（1）3のカード1枚と、1・2・4から2枚を使う。1・2・4から2枚の選び方は｛1,2｝｛1,4｝｛2,4｝の3通り。それぞれ3枚の並べ方が 3×2×1＝6通り。3×6＝18。
（2）3・3と他1枚（1・2・4）。3枚の並べ方は3通り（他の1枚の位置）×3種＝9。
（3）3のカードを何枚使うかで分ける。
・1枚…（1）の18通り　・2枚…（2）の9通り　・0枚…1・2・4の3枚を並べて 3×2×1＝6通り
18＋9＋6＝33。

問7こたえ (1) 720通り　(2) 240通り　(3) 72通り

3人の男子A、B、Cと3人の女子D、E、Fの6人が1列に並びます。
（1）6人の並び方は全部で何通りになるか、求めなさい。
（2）DとEがとなりあう並び方は全部で何通りか、求めなさい。
（3）男子と女子が交互に並ぶ並び方は全部で何通りか、求めなさい。

（1）6×5×4×3×2×1＝720。
（2）〔DE〕を1組にして5つを並べる（5×4×3×2×1）＝120×中の2通り＝240。
（3）男女のパターン2通り×（3×2×1）×（3×2×1）＝2×6×6＝72。

問8こたえ (1) 5040通り　(2) 144通り　(3) 720通り　(4) 2880通り

3人の男子A、B、Cと4人の女子D、E、F、Gの7人が1列に並びます。
（1）7人の並び方は全部で何通りか、求めなさい。
（2）男子と女子が交互に並ぶ並び方は全部で何通りか、求めなさい。
（3）男子3人がとなりあう並び方は全部で何通りか、求めなさい。
（4）一方のはしに男子、もう一方のはしに女子が並ぶ並び方は全部で何通りか、求めなさい。

（1）（7×6×5×4×3×2×1）＝5040。
（2）女子4人が「女□女□女□女」のように両端と間に入り、男子3人がすき間に入る＝女（4×3×2×1）×男（3×2×1）＝24×6＝144。
（3）男子3人を1組にして〔男〕＋女子4人の5つを並べる（5×4×3×2×1）＝120×男子の中（3×2×1）＝6＝720。
（4）はしの男女の決め方2通り×はしの男子3通り×はしの女子4通り×間の5人（5×4×3×2×1）＝2×3×4×120＝2880。

問9こたえ (1) 35通り　(2) 10通り　(3) 10通り

100円硬貨4枚と10円硬貨3枚があります。この7枚の硬貨を1列に並べます。
（1）並べ方は全部で何通りか、求めなさい。
（2）両はしが100円硬貨となる並べ方は全部で何通りか、求めなさい。
（3）10円硬貨がとなりあわない並べ方は全部で何通りか、求めなさい。

同じ硬貨は区別しない。
（1）7か所から10円の位置3か所を選ぶ＝7×6×53×2×1＝35。
（2）両はしを100円に固定→のこり5か所に10円3か所＝5×4×33×2×1＝10。
（3）まず100円4枚を並べ、そのすき間（両はし含め5か所）に10円3枚を入れる＝5×4×33×2×1＝10。

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